Giới hạn tại vô cùng

Giới hạn tại vô cùng của hàm số này tồn tại.

Với hàm số thực f(x), ta nói giới hạn của f khi x tiến tới (dương) vô cùng là L, viết là

lim x → ∞ f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}

nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại một số c sao cho nếu x > c thì |f(x) - L| < ε. Viết bằng ký hiệu là:

∀ ε > 0 ∃ c ∀ x > c : | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists c\;\forall x>c:\;|f(x)-L|<\varepsilon } .

Tương tự, ta nói giới hạn của f khi x tiến tới âm vô cùng là L, viết là

lim x → − ∞ f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}

nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại một số c sao cho nếu x < c thì |f(x) - L| < ε. Viết bằng ký hiệu là:

∀ ε > 0 ∃ c ∀ x < c : | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists c\;\forall x<c:\;|f(x)-L|<\varepsilon } .

Ví dụ: lim x → − ∞ e x = 0. {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0.\,}

Giới hạn vô cùng

Với hàm số có giá trị tăng đến vô cùng, nó phân kỳ và giới hạn thông thường không tồn tại. Tuy nhiên, trong trường hợp này ta có thể định nghĩa giới hạn với giá trị vô cùng. Ví dụ, phát biểu giới han của f khi x tiến tới a là vô hạn, viết là

lim x → a f ( x ) = ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty ,}

nghĩa là với mọi N > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì f(x) > N.

Những định nghĩa này có thể được kết hợp với nhau một cách tự nhiên để cho ta những loại giới hạn tương tự như

lim x → ∞ f ( x ) = ∞ , lim x → a + f ( x ) = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,\lim _{x\to a^{+}}f(x)=-\infty .}

Ví dụ,

lim x → 0 + ln ⁡ x = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty .}

Những giới hạn vô hạn có liên quan đến khái niệm tiệm cận.

Những định nghĩa trên có cách tiếp cận sử dụng không gian mêtric. Thực tế, chúng tương thích với định nghĩa không gian tôpô của giới hạn nếu

• một lân cận của −∞ được định nghĩa để chứa một đoạn [−∞, c) với c ∈ R, và
• một lân cận của ∞ được định nghĩa để chứa một đoạn (c; ∞) với c ∈ R, và
• một lân cận của a ∈ R được định nghĩa như trong không gian mêtric R.

Trong trường hợp đó, R là một không gian tôpô và định nghĩa không gian tôpô cho giới hạn áp dụng cho bất kì hàm số f: X → Y với X, Y ⊆ R, khi ấy giới hạn vô cùng có thể được định nghĩa dễ dàng.

Giới hạn tại vô hạn của hàm phân thức

Tiệm cận ngang y = 4

Có ba quy tắc cơ bản để tính giới hạn tại dương vô cùng của một hàm phân thức f(x) = P(x)/Q(x) (trong đó P và Q là các đa thức):

• Nếu bậc của P lớn hơn bậc của Q, thì giới hạn là dương hoặc âm vô cùng, tùy thuộc vào dấu của hệ số bậc cao nhất của hai đa thức (cùng dấu là dương, ngược dấu là âm);
• Nếu bậc của P và Q bằng nhau, giới hạn bằng hệ số bậc cao nhất của P chia cho hệ số bậc cao nhất của Q;
• Nếu bậc của P nhỏ hơn bậc của Q, giới hạn là 0.

Nếu giới hạn (hữu hạn) tại vô cùng của f tồn tại, nó tượng trưng cho tiệm cận ngang tại y = L. Đa thức không có tiệm cận ngang, tuy nhiên các hàm phân thức có thể có.